爱问经验方法/步骤
1/8分步阅读介绍二次函数y=9x^2/5+x/7+1的定义域、值域、对称轴、单调性、凸凹性等性质，并举例通过导数知识求解函数上点切线的主要过程和步骤。
[图]2/8函数的定义域与值域：
1）定义域：函数为二次函数，由函数特征知函数的定义域为全体实数，即定义域为：（-∞，+∞）。
2）值域：该二次函数开口向上，函数有最小值，在顶点处达到，所以值域为：[1759/1764，+∞）。
[图]3/8函数的对称轴与单调性：
因为函数y=9x2/5+x/7+1，其对称轴为：
x0=-5/126,函数开口向上，所以函数的单调性为：
在区间（-∞，-5/126]上，函数为单调减函数；
在区间(-5/126 ,+∞）上，函数为单调增函数。
[图]4/8函数一阶导数及其应用
求函数的一阶导导数，并求函数在点A(-1,93/35),B(-1/2,193/140),C(1/2,213/140),D(1,103/35),E(-5/126,1759/1764)处的切线方程。
[图]5/8解：∵y=9x2/5+x/7+1，
∴y'=18x/5+x/7.
(1)在点A(-1,93/35)处，切线的斜率k为：
k=-121/35,此时由直线的点斜式方程得切线方程为：
y-93/35=-121/35(x+1)。
(2)在点B(-1/2,193/140)处，切线的斜率k为：
k=-58/35,此时由直线的点斜式方程得切线方程为：
y-193/140=-58/35(x+1/2)。
[图]6/8(3)在点C(1/2, 213/140)处，切线的斜率k为：
k=68/35,此时由直线的点斜式方程得切线方程为：
y-213/140=68/35(x-1/2)。
(4)在点D(1, 103/35)处，切线的斜率k为：
k=131/35,此时由直线的点斜式方程得切线方程为：
y-103/35=131/35(x-1)。
[图]7/8(5)在点D(-5/126,1759/1764)处，因为该点是二次函数抛物线的顶点，所以其切线是一条平行于x轴的直线，并过点D,则此时的切线方程为：y=1759/1764。
8/8函数的凸凹性：
通过初高中知识我们知道，二次函数开口向上时，函数图像为凹函数。在这里，我们用导数的知识判断函数的凸凹性。
∵y'=18x/5+x/7,
∴y''=18/5>0,即二阶导数为正数，则函数在整个定义域上为凹函数。
[图]编辑于2025-07-10，内容仅供参考并受版权保护
