主要方法步骤
1/7分步阅读例题1：讨论y=e^x-2x-3的单调性。
解：y=e^x-2x-3,则y´=e^x-2.
令y´=0，则x=ln2.判断导数的符号为：
(1)当x≥ln2时，y´≥0，此时函数为增函数，
函数的增区间为[ln2,+∞）；
(2)当x＜ln2时，y´＜0，此时函数为减函数。
函数的减区间为(-∞，ln2)。
[图]2/7例题2：讨论函数f(x)=3x^3-4x^2+1的单调性。
解：y=3x^3-4x^2+1,
y´=9x^2-8x=x(9x-8).
令y´=0，即x1=0,x2=8/9，则：
(1)当x∈(-∞，0]，[8/9,+∞）时，y´≥0，
此时函数为增函数，该区间为函数的增区间；
(2)当x∈(0，8/9)时，y´＜0，
此时函数为减函数，该区间为函数的减区间。
[图]3/7例题3：判断y=(4/3)x^3+(1/2)x^2的单调性。
解：y=(4/3)x^3+(1/2)x^2,
y´=4x^2+x=x(4x+1).
令y´=0，即x1=-1/4,x2=0，则：
(1)当x∈(-∞，-1/4]，[0,+∞）时，y´≥0，
此时函数为增函数，该区间为函数的增区间；
(2)当x∈(-1/4，0)时，y´＜0，
此时函数为减函数，该区间为函数的减区间。
[图]4/7例题4：求函数f(x)=(x+2)(x+1)^(2/3)的单调区间。
解：y=(x+2)(x+1)^(2/3).
y´=(x+1)^(2/3)+(2/3)(x+2)(x+1)^(-1/3)
=(1/3)(x+1)^(-1/3)*(5x+7).
令y´=0，即x1=-7/5，又x2=-1处导数不存在，则：
(1)当x∈(-∞，-7/5]，(-1,+∞）时，y´≥0，
此时函数为增函数，该区间为函数的增区间；
(2)当x∈(-7/5，-1)时，y´＜0，此时函数为减函数。
[图]5/7例题5：求f(x)=x^2(x-3)^2的单调区间。
解：y=x^2(x-3)^2,
y´=2x(x-3)^2+2x^2(x-3)=2x(x-3)(2x-3).
令y´=0，即x1=0，x2=3/2，x3=3则：
[图]6/7例题6：讨论y=(x-2)3√x^2的单调性。
解：y=(x-2)x^(2/3).
y´=x^(2/3)+(2/3)(x-2)x^(-1/3)
=(1/3)x^(-1/3)*(5x-4).
令y´=0，即x1=4/5，又x2=0处导数不存在，则：
(1)当x∈(-∞，0)，[4/5,+∞）时，y´≥0，
此时函数为增函数，该区间为函数的增区间；
(2)当x∈(0，4/5)时，y´＜0，此时函数为减函数。
[图]7/71.求函数的一阶导数。
2.由一阶导数为0，求解函数的驻点，同时注意导数不存在的点。
3.以函数的驻点、导数不存在的点，并结合函数的定义域，判断函数导数与0的关系，即可得到函数的单调性和单调区间。
[图]编辑于2025-10-11，内容仅供参考并受版权保护
