定理公式
1/1分步阅读三维不等式柯西定理：
(s₁²+s₂²+s₃²)(t₁²+t₂²+t₃²)≥(s₁t₁+s₂t₂+s₃t₃)²。
[图]定理的证明
1/1定理证明：
证明：
定义函数f(x)为:
f(x)=(s₁+t₁x)²+(s₂+t₂x)²,
将f(x)转化为二元函数的标准形式y=ax²+bx+c得
f(x)=(t₁²+t₂²)x²+2(s₁t₁+s₂t₂)x+(s₁²+s₂²)
因为f(x)≥0，所以它只有一个解或无解，即
Δ=4(s₁t₁+s₂t₂)²−4(t₁²+t₂²)(s₁²+s₂²)≤0
所以: (t₁²+t₂²)(s₁²+s₂²)≥(s₁t₁+s₂t₂)².
令函数f(x)=0，则每个平方项都必须为0，即
s₁+t₁x=0⇒x=−s₁/t₁,
s₂+t₂x=0⇒x=−s₂/t₂;
则要使函数有零点，即Δ=0,则必须有：
s₁/t₁=s₂/t₂,证毕。
例题1应用举例
1/1※.若正数a,b,c,x,y,z满足a²+b²+c²=147,x²+y²+z²=234,求ax+by+cz的最小值。
解：直接使用上述柯西三维不等式有：
(a²+b²+c²)(x²+y²+z²)≥(ax+by+cz)²,
代入数值即可得：
147*234≥(ax+by+cz)²,即：
(ax+by+cz)²≤34398,
由于所有变量均为正数，则：
ax+by+cz≤√34398，
所以ax+by+cz的最小值为：√34398.
[图]例题2应用举例
1/1※.若正数x,y,z满足x²+y²+z²=182,求x+y+z的最小值。
解：使用柯西三维不等式有：
(x²+y²+z²) (a²+b²+c²)≥(x+y+z)², 即：
(x²+y²+z²) (1²+1²+1²)≥(x+y+z)²，则：
182*3≥(x+y+z)²,进一步有：
(x+y+z)²≤546，
所以正数x+y+z的最小值=√546。
[图]例题3应用举例
1/1※.若a+b+c=266,求4a²+225b²+81c²的最小值。
解：使用上述不等式，出现和的平方，即已知条件转换为不等式右边和的平方，则所求代数式需要变形成两个三项式平方和的乘积。
4a²+225b²+81c²=(2a)²+(15b)²+(9c)²
进一步变形为：
[(2a)²+(15b)²+(9c)²][(1/2)²+(1/15)²+(1/9)²]，
≥[(2a/2)+(15b /15)+(9c/9)]²，
=(a+b+c)²=266²，即：
(4a²+225b²+81c²)*(2161*3²/270²)≥266²，
所以：4a²+225b²+81c²≥(1/2161)*23940²。
[图]例题4应用举例
1/1※.若2x+40y+6z=729,求x²+y²+z²的最小值。
解：运用三维柯西不等式，有：
(x²+y²+z²)(2²+40²+6²)≥(2x+40y+6z)²,即：
(x²+y²+z²)(2²+40²+6²)≥729²,
(x²+y²+z²)*410*2²≥729²,
x²+y²+z²≥729²/(410*2²),
即：x²+y²+z²≥531441/1640,
所以x²+y²+z²的最小值=531441/1640。
[图]编辑于2025-06-01，内容仅供参考并受版权保护
